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標題: Bresenham畫線算法的推導 [打印本頁]

作者: 51黑黑黑 時間: 2016-2-12 21:18
標題: Bresenham畫線算法的推導
以前看到Bresenham畫線算法，直接拿來用，沒有去推導它,近日,參考一些資料,特整理其算法推導過程如下。各位大蝦如果知道其細節，趕緊閃過，不用浪費時間了。
基本上Bresenham畫線算法的思路如下:
// 假設該線段位于第一象限內且斜率大于0小于1,設起點為(x1,y1),終點為(x2,y2).
// 根據對稱性,可推導至全象限內的線段.
1.畫起點(x1,y1).
2.準備畫下個點。x坐標增1，判斷如果達到終點，則完成。否則，由圖中可知,下個要畫的點要么為當前點的右鄰接點,要么是當前點的右上鄰接點.
2.1.如果線段ax+by+c=0與x=x1+1的交點的y坐標大于M點的y坐標的話,下個點為U(x1+1,y1+1)
2.2.否則,下個點為B(x1+1,y1)
3.畫點(U或者B).
4.跳回第2步.
5.結束.

這里需要細化的是怎么判斷下個要畫的點為當前點的右鄰接點還是當前點的右上鄰接點.
設線段方程：ax+by+c=0(x1<x<x2,y1<y<y2)
令dx=x2-x1,dy=y2-y1
則：斜率-a/b = dy/dx.
從第一個點開始，我們有F(x,1,y1) = a*x1+b*y1+c=0
下面求線段ax+by+c=0與x=x1+1的交點:
由a*(x1+1)+b*y+c = 0, 求出交點坐標y=(-c-a(x1+1))/b
所以交點與M的y坐標差值Sub1 = (-c-a(x1+1))/b - (y1+0.5) =-a/b-0.5，即Sub1的處始值為-a/b-0.5。
則可得條件當 Sub1 = -a/b-0.5>0時候,即下個點為U.
反之,下個點為B.
代入a/b,則Sub1 = dy/dx-0.5.
因為是個循環中都要判斷Sub,所以得求出循環下的Sub表達式,我們可以求出Sub的差值的表達式.下面求x=x1+2時的Sub，即Sub2
1.如果下下個點是下個點的右上鄰接點，則
Sub2 = (-c-a(x1+2))/b - (y1+1.5) = -2a/b - 1.5
故Sub差值Dsub = Sub2 - Sub1 = -2a/b - 1.5 - (-a/b-0.5) = -a/b -1.代入a/b得Dsub = dy/dx -1;
2.如果下下個點是下個點的右鄰接點，
Sub2 = (-c-a(x1+2))/b - (y1+0.5) = -2a/b - 0.5
故Sub差值Dsub = Sub2 - Sub1 = -2a/b - 0.5 - (-a/b-0.5) = -a/b.代入a/b得Dsub = dy/dx;
于是，我們有了Sub的處始值Sub1 = -a/b-0.5 = dy/dx-0.5,又有了Sub的差值的表達式Dsub =dy/dx -1 （當Sub1 > 0）或 dy/dx（當Sub1 <0）.細化工作完成。
于是pcode可以細化如下：
// Pcode for Bresenham Line
// By SoRoMan
x=x1;
y=y1;
dx = x2-x1;
dy = y2-y1;
Sub = dy/dx-0.5; // 賦初值，下個要畫的點與中點的差值
DrawPixel(x, y); // 畫起點
while(x<x2)
{
x++;
if(Sub > 0) // 下個要畫的點為當前點的右上鄰接點
{
Sub += dy/dx - 1; //下下個要畫的點與中點的差值
y++; // 右上鄰接點y需增1
}
else// 下個要畫的點為當前點的右鄰接點
{
Sub += dy/dx;
}
// 畫下個點
DrawPixel(x,y);
}
PS:一般優化：
為避免小數轉整數以及除法運算，由于Sub只是用來進行正負判斷，所以可以令Sub= 2*dx*Sub = 2dy-dx,則
相應的DSub = 2dy - 2dx或2dy.
思考1:如果Sub = 0時，會產生取兩個點都可以的問題。這個問題還沒深入。
//========================================以上部分轉===========================================
優化后的代碼：
void GUI_Line(u8 x1,u16 y1,u8 x2,u16 y2,u16 Color)
{
s16 dx,dy,d;
u16 y=y1;
u8 x;
dx=x2-x1;
dy=y2-y1;
d=2*dy-dx;
for(x=x1;x<x2+1;x++)
{
  GUI_Pixel(x,y,Color);
  if(d>0)
  {
y++;
d+=2*(dy-dx);
  }
  else
  {
d+=2*dy;
  }
}
}
而適合任意斜率的代碼如下：
void GUI_Line(u8 x1,u16 y1,u8 x2,u16 y2,u16 Color)
{
  s16 d,d1,d2;
s16 x=x1,y=y1,a=y1-y2,b=x2-x1;
s16 cx=(b>=0 ? 1 :(b=-b,-1));
s16 cy=(a<=0 ? 1 :(a=-a,-1));
if(-a<=b)//斜率絕對值 <=1
{
  d=2*a+b;
  d1=2*a;
  d2=2*(a+b);
  while(x!=x2+1)
  {
GUI_Pixel(x,y,Color);
if (d< 0)
y+= cy, d += d2;
else
d+= d1;
x +=cx;
  }
}
else//斜率絕對值 > 1
{
  d = 2 * b + a;
  d1 = 2 * b;
  d2 = 2 * (a + b);
  while(y != y2+1)
  {
GUI_Pixel(x,y,Color);
if(d<0)
d+=d1;
else
x+=cx,d+=d2;
y+=cy;
  }
}
}

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