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標(biāo)題: 0-1背包問題 [打印本頁]

作者: 51黑tt 時(shí)間: 2016-3-5 20:01
標(biāo)題: 0-1背包問題
發(fā)現(xiàn)很多重量級的公司都十分喜愛回溯法，可是鑒于回溯法稍微的復(fù)雜，就找了一個(gè)較為簡單的動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法來解此題。
動(dòng)態(tài)規(guī)劃是用空間換時(shí)間的一種方法的抽象。其關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)子問題和記錄其結(jié)果。然后利用這些結(jié)果減輕運(yùn)算量。
比如01背包問題。
/* 一個(gè)旅行者有一個(gè)最多能用M公斤的背包，現(xiàn)在有N件物品，
它們的重量分別是W1，W2，...,Wn,
它們的價(jià)值分別為P1,P2,...,Pn.
若每種物品只有一件求旅行者能獲得最大總價(jià)值。
輸入格式：
M,N
W1,P1
W2,P2
......
輸出格式：
X
*/
因?yàn)楸嘲畲笕萘縈未知。所以，我們的程序要從1到M一個(gè)一個(gè)的試。比如，開始任選N件物品的一個(gè)。看對應(yīng)M的背包，能不能放進(jìn)去，如果能放進(jìn)去，并且還有多的空間，則，多出來的空間里能放N-1物品中的最大價(jià)值。怎么能保證總選擇是最大價(jià)值呢？看下表。
測試數(shù)據(jù)：
10,3
3,4
4,5
5,6

c[j]數(shù)組保存了1,2,3號物品依次選擇后的最大價(jià)值.
這個(gè)最大價(jià)值是怎么得來的呢?從背包容量為0開始,1號物品先試,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量為3則里面放4.這樣,這一排背包容量為4,5,6,....10的時(shí)候，最佳方案都是放4.假如1號物品放入背包.則再看2號物品.當(dāng)背包容量為3的時(shí)候，最佳方案還是上一排的最價(jià)方案c為4.而背包容量為5的時(shí)候，則最佳方案為自己的重量5.背包容量為7的時(shí)候，很顯然是5加上一個(gè)值了。加誰??很顯然是7-4=3的時(shí)候.上一排 c3的最佳方案是4.所以。總的最佳方案是5+4為9.這樣.一排一排推下去。最右下放的數(shù)據(jù)就是最大的價(jià)值了。(注意第3排的背包容量為7的時(shí)候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.說明這時(shí)候3號物品沒有被選.選的是1,2號物品.所以得9.)
從以上最大價(jià)值的構(gòu)造過程中可以看出。 f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}這就是書本上寫的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程.這回清楚了嗎?
下面是實(shí)際程序:

#include<stdio.h>
int c[10][100];/*對應(yīng)每種情況的最大價(jià)值*/
int knapsack(int m,int n)
{
int i,j,w[10],p[10];
for(i=1;i<n+1;i++)
      scanf("\n%d,%d",&w[i],&p[i]);
for(i=0;i<10;i++)
   for(j=0;j<100;j++)
         c[i][j]=0;/*初始化數(shù)組*/
for(i=1;i<n+1;i++)
   for(j=1;j<m+1;j++)
         {
         if(w[i]<=j) /*如果當(dāng)前物品的容量小于背包容量*/
                  {
                  if(p[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j])

                        /*如果本物品的價(jià)值加上背包剩下的空間能放的物品的價(jià)值*/

                     /*大于上一次選擇的最佳方案則更新c[i][j]*/
                        c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]];
                        else
                        c[i][j]=c[i-1][j];
                  }
            else c[i][j]=c[i-1][j];
         }
return(c[n][m]);

}
int main()
{
int m,n;int i,j;
scanf("%d,%d",&m,&n);
printf("Input each one:\n");
printf("%d",knapsack(m,n));
printf("\n");/*下面是測試這個(gè)數(shù)組,可刪除*/
   for(i=0;i<10;i++)
   for(j=0;j<15;j++)
      {
      printf("%d ",c[i][j]);
         if(j==14)printf("\n");
      }
system("pause");
}

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