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標題: 幾個概率論小問題 [打印本頁]

作者: 51hei小名 時間: 2016-6-20 21:56
標題: 幾個概率論小問題
（本文屬于簡單科普，各位專家請繞道。。）

下面幾個簡單的小問題讓你確認一下你對概率論的理解。
不要想當然！要不然你會被你自己嚇到。

1.戴夫有兩個孩子，有一個是男孩，另一個是女孩的概率是多少？

      很多人肯定會認為這個概率是1/2，但這種想法并不正確。記男孩為b，女孩記為g，你的概率空間Ω={gg,gb,bg,bb}，所求概率是條件概率，即在{gb,bg,bb}中的有g的概率，正確答案是2/3。

2.鮑勃有兩個孩子，有一個是在晚上出生的男孩，另一個是男孩的概率是多少？（假設鮑勃家在赤道上，白天夜晚均等。）

      根據上一題的經驗，很多人肯定會以為答案是1/3，白天出生和晚上出生能有什么鬼差別？事實上并非如此，正確答案是3/7.

3.柯西有兩個孩子，有一個是在星期二出生的女孩，另一個也是女孩的概率是多少？

      正確答案是13/27，不解釋。

4.有這樣一個游戲：投一個硬幣，如果不是正面就一直投下去。記直到正面投的次數為X，你將獲得2的X次方元的錢。
      (1).從概率論的角度，平均每一玩次你能獲得多少錢？如果該游戲定價100000元玩一次，你愿意玩嗎？為什么？
      (3).如果讓你來給該游戲定個數學上公平合理的價格(按數學期望計算)，你將定價多少？

      連續投X次的概率應為2^(-X)，此時獲得2^X元，獲得的錢的期望值就是 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... = 無窮大。從期望值的角度，你應該玩這個游戲，但是你肯定不會愿意去玩的，因為其實得不到多少錢。

      同理，如果要定一個公平的價格，那么價格應定為期望值，也就是無窮大。但是每次你只能獲得有限的錢，為什么要花無窮多的錢去玩這個游戲呢？（這叫圣彼得堡悖論）

5.經典的三門問題：主持人身后有三個門，其中有一個門里面是高級汽車，另外的門里面都是山羊。主持人會讓你先選一扇門，然后他會為你揭曉一扇山羊的門（你之前所選的那扇門不會被打開）。請問這個時候，你要不要換選另外一扇沒有打開的門？還是保留原來的選擇？

      多數人可能會認為換不換都一樣，有些人還堅持不換更好。
      正確答案應該是換一扇門，勝算更大。
      不換：你贏的概率是1/3，他開門不影響這個概率。
      換：如果你選的門后面是車(1/3 的可能性)，換就輸了。但是如果你的門后面是羊(2/3)，換就一定會贏，也就是說，如果你換，你贏的概率就是2/3.

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