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標題: 關于雞兔同籠與二元一次方程的笑談——非常淺地談數學的內涵 [打印本頁]

作者: 51hei小名 時間: 2016-6-20 22:00
標題: 關于雞兔同籠與二元一次方程的笑談——非常淺地談數學的內涵
注：本文不適合有一定數學經驗理解的人和數學專家閱讀。
關于雞兔同籠問題，有一個傳的很廣的笑話。原文照搬如下：

雞和兔15只，共有40只腳，雞和兔各幾只？算法：假設雞和兔訓練有素，吹一聲哨，抬起一只腳，40－15＝25。再吹哨，又抬起一只腳，25－15＝10，這時雞都一屁股坐地上了，兔子還兩只腳立著。所以，兔子有10÷2＝5只，雞有15－5＝10只。這種算法，讓二元一次方程情何以堪。…

說實話，我看了之后確實笑了，但不是因為這個笑話本身好笑，而是這個笑話，以及作出這個笑話的人對數學的認識不夠。
在本文中，我將向您揭示這個笑話的數學實質，并由此簡要地、非常淺地談一下數學的內涵，這包括代數與實際之間的聯系，以及數學是如何抽象生活中的概念的。最后，您將能知道如何將一個實際問題的代數解法轉變為一個算術解法。

首先，讓我們來回顧一下這個問題的二元一次方程的解法。
設雞x只，兔y只，則x與y滿足如下方程：

x + y = 15  (1)
2x + 4y = 40  (2)

現在，我們如下進行：
      將（2）式連續減去兩次（1）式
         第一次減得到 x + 3y = 25
         第二次減得到 2y = 10
         故 y = 5。
         因此 x = 15 - y = 10。

我想，有一定觀察能力的人已經看出問題來了。是的，這兩個解法完全是一樣的，不僅如此，二元一次方程反而更加簡潔，無論是在運算還是在思路上都更加簡單、清晰、容易接受。問題就出在很多人沒有真正理解在數學語言——數學是抽象的語言，它不代表具體事物，而是可以代表任何事物，甚至于數學本身！——如果我把雞和兔換成圓規和方桌呢？
二元一次方程哪里會“情何以堪”，他正在哈哈大笑呢！他會說：“笑的就是那些沒有真正理解我，反而嘲笑我的人。”

事實上，從代數的語言，我們還可以得到許多看起來是“完全不同的、更加奇思妙想”的解法。下面再擺這兩個方程：

x + y = 15  (1)
2x + 4y = 40  (2)

現在，我們用另外的方法解它：
      將（2）式除以2
         x + 2y = 20
      將上式減去(1)
         y = 5
      由此得
         x = 15 - y = 10

上面的解法不難變成如下“奇思妙想”的解法：

讓雞和兔各自抬起一半的腳，此時雞一只腳支地，兔兩只腳，因此兔數等于腳數減去頭數，得5，故兔5只，雞15-5=10只。

下面再擺這兩個方程：

x + y = 15  (1)
2x + 4y = 40  (2)

現在，我們用另外的方法解它：
      將從1中解出y
         y = 15 - x
      將上式代入(2)
         2x + 4×(15 - x) = 40
         (2 - 4)x + 4×15 = 40
         (4 - 2)x = 4×15 - 40
         x = (4×15 - 40)÷(4 - 2)
            = 10

上面的解法不難變成如下“奇思妙想”的解法：

給每只雞或兔都戴一個“四腳帽”，“頭上面的腳”的總和就會比真正的腳多出兩倍雞的數量，因此減出雞10只，兔15-10=5只！

事實上，我們只不過是把題目
      雞和兔15只，共有40只腳，雞和兔各幾只？
改成如下陳述：
      雞 + 兔 = 15
      2雞 + 4兔 = 40
而已，這個陳述顯然跟原題目沒有區別（等價）。而“雞”在這里完全可以抽象為“x”，因為我們關心的只是雞的個數而非實際的雞。
x + y = 15
2x + 4y = 40
對x和y的每一個操作，包括加一，乘二，除二，開方等等，都有其實際的內涵在里面。可惜這種對代數方程再簡單不過的理解，我們的教材不講，老師也不談，最后造成了這個笑話的產生。

每一個等式，都是一個內涵。
      比如下面這個等式展示了數學的簡單而美麗既深刻又豐富的內涵：

（注：這個簡單的等式并非來自代數，在16~17世紀就被發現了（據說萊布尼茲（他不是最先發現該公式的人）因為發現這個公式，深感自然界的神秘，便決心從律師轉為數學家去從事數學研究了。）。但令人感到神秘和驚訝的是幾百年后人們發現它與 Q(√-1) 的類數為1有關，而后者屬于代數與整數的深處。）

我們以高斯的一句名言結尾：“數學中重要的是概念而不是記號。”

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