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標(biāo)題: 牛頓法解方程 [打印本頁]

作者: 51hei小名 時間: 2016-6-20 22:28
標(biāo)題: 牛頓法解方程
數(shù)值法解方程廣泛應(yīng)用于各種工程科學(xué)領(lǐng)域，它可以求出解的近似值，而對于高次方程沒有求根公式，而且對于各種困難的方程，數(shù)值法就顯得尤為重要。

我們的老師向我們介紹了“二分法”，這種方法雖也是數(shù)值解法，但是使用起來不僅繁瑣，計算復(fù)雜，而且效率低下。相比之下，使用牛頓法就顯得更好。

下面簡要的介紹一下牛頓法：

(圖片繪制的不太好，看得懂就行。。)

對于方程一元f(x)=0，設(shè)其中一個解為x0,尋找x0就是我們的任務(wù)。我們首先找一個在x0附近的解的估計值x1。

牛頓法的核心思想就是利用曲線f(x)在 x1 點的切線（即導(dǎo)數(shù)）來近似的替代方程左邊復(fù)雜的f(x)，由于直線與x軸的交點十分容易求得，所以很容易可以找出一個近似的原方程的解，然后將這個解作為新的x1，重復(fù)上述過程，得出的解就會越來越接近于真實情況。而且，在多數(shù)情況下，只要初始值不是給的相差太遠(yuǎn)，牛頓法的逼近速度是很快的，遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于二分法。

根據(jù)這個方法，不難寫出牛頓法的程序，下面給出這個程序：

效果：

程序如下：
（使用方法：將下代碼寫入記事本，另存為 .vbs 文件，文件名可以隨意，若360誤報屬360技術(shù)問題。）

Dim x0, x1, x2, x3, m_expr, i, x, Res, der, s_expr

Function Limit (expr, point) '取極限的近似值
Dim dif, i, nk, difk, ndifk, k, x
dif = 1
ndifk = 1000
x = point + dif
nk = Eval(expr)
For i = 1 To 3
dif = dif / 100
x = point + dif
k = Eval(expr)
difk = Abs(nk - k)
nk = k
'If difk < ndifk Then
'ndifk = difk
'Else
'Limit = "F"
'End If
Next
If Limit <> "F" Then Limit = k
End Function

Function Derivative (expr, point) '取導(dǎo)數(shù)的近似值
Dim Delta_x
Delta_x = 0.000001
Derivative = (Limit(expr, point + Delta_x) - Limit(expr, point))/Delta_x
End Function

s_expr = Inputbox("請輸入關(guān)于x的一元方程" & vbCrLf & "注：指數(shù)是“^”，如 x^2 就是 x平方；乘號是“*”，不支持形如2x的寫法，必須寫成2*x")
m_expr = Mid(s_expr,1,InStr(s_expr,"=")-1) & "-(" & Mid(s_expr,InStr(s_expr,"=")+1,Len(s_expr)-InStr(s_expr,"=")) & ")"
x0 = 1
Do
x0 = Inputbox("請給出一個解的估計值 x0 ，輸入exit退出", "初始值", x0)
If LCase(x0) = "exit" Then Exit Do
x = x0
Res = ""
For i = 1 To 1000
x = x0
der = Derivative(m_expr, x)
If der = 0 Then Msgbox "無法找到解！請嘗試更換一個估計值！":Exit For
x1 = (Eval(m_expr)/der)
x0 = x0 - x1
If x1 = 0 Then
Exit For
End If
Next
If abs(x1) > 0.001 Then
Msgbox "解發(fā)散，無法求解！請嘗試更換一個估計值！"
End If
If Abs(x0) < 1 Then x0 = "0" & x0
Msgbox s_expr & vbCrLf & vbCrLf & "x = " & x0 & vbCrLf & vbCrLf & "共計算" & i & "次"
Loop

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