信號頻率估計

信號頻率估計是信息科學在信號處理領域的一個重要的組成部分，指的是通過對信號采樣值的計算和變換，估計出淹沒于噪聲中的信號頻率。按照信號的平穩性差異，可將頻率估計方法分為平穩信號頻率估計與非平穩信號頻率估計。

平穩信號頻率估計始于1822年，傅里葉提出諧波分析理論，奠定了信號分析和功率譜估計理論基礎。在19實際末，Schuster提出周期圖概念，至今沿用。在1958年，Blackman和Tukey提出自相關譜估計，簡稱BT法。以上幾種方法為信號頻率估計經典法。經典法的缺點是分辨力低（為1/N，N為數據長度），提高分辨力需增加數據長度N，從而增加運算時間。對此，提出了修正平均周期圖法（Welch法）、Bartlett法等。

在60年代末70年代初，科學家們提出使用現代法來進行信號的頻率估計，以提高頻率分辨率。現代法分為兩類：參數估計法，非參模型法。參數估計法包括：自回歸（AR）模型，滑動平均（MA）模型，自回歸滑動平均（ARMA）模型。參數估計法具有較好的頻率分辨能力，運算速度較快，但性能受參數的選取等因素的影響。非參數模型法包括：最大似然法，最小方差無失真法（MVDR），多信號分類法（MUSIC），子空間旋轉不定法（ESPRIT）。

對于非平穩信號來說，瞬時頻率隨時間變化，時頻分布能夠更準確的分析信號的時變本質，讓分析精確到具體時間和特定的頻率上，使用的方法有Gabor變換，短時傅里葉變換，小波變換，S變換，Hilbert-Huang變換等。

下面具體介紹不同的信號頻率估計方法。

1、周期圖法（Periodogram）

周期圖法通過計算采樣信號的FFT，獲得離散點的幅度，然后取其幅頻特性的平方并除以序列長度N。

由于序列x(n)的離散傅里葉變換X(ejw)具有周期性，因而這種功率譜也具有周期性，被稱為周期圖。因其直接觀察數據的傅氏變換，又被稱為直接法。周期圖是信號功率譜的一個有偏估值，隨著所取信號序列的長度的不同，所得到的周期圖也不同。應用時，要在方差、偏差、分辨率之間進行折中選擇。

2、自相關函數法（BT法）

當m和N都比較大時，計算量很大。

接下來介紹現代法中的參數估計法。

參數估計法的基本思路：1、參數模型假設研究過程是由一個輸入序列u(N)激勵一個線性系統H(z)的輸出。2、由假設參數模型的輸出x(n)或其自相關函數來估計H(z)的參數。3、由H(z)的參數估計x(n)的功率譜。所以參數模型功率譜的求解有兩步：1、H(z)模型參數估計2、依據模型參數求功率譜。

3、AR模型法

x(n)的功率譜可表示為

是激勵白噪聲的方差，Sx(ejw)為功率譜密度，ak和bk為模型參數。若式中參數b1,b2,…,bq全為0，則上式變為即為AR模型。

AR模型又稱為自回歸模型，是一個全極點模型。該模型現在的輸出是現在的輸入和過去p個輸出的加權和：，式中u(n)為白噪聲信號，p為AR模型的階數。對上式求z變換，得到系統函數：

由隨機信號通過線性系統理論知輸出序列的功率譜：

，

式中，為白噪聲序列方差。AR模型估計中，由于隱含自相關函數的外推，而使分辨率大大提高；從而觀測數據的多少對分辨率影響不大，但對估計誤差會有影響，數據越多，估計誤差越小。AR模型中階數p越低，功率譜分辨率降低，但譜的平滑性變好，估計誤差降低。

ARMA模型是既有零點，又有極點的模型。ARMA(p，q)的差分方程如下，其中u(n-k)是零均值，方差為的白噪聲，p，q分別為自回歸（AR）和滑動平均（MA）的階數。由AR模型得到，對已知數據uN(n)，經過，輸出y(n)近似于一個MA(q)過程，求出和輸入噪聲方差的估計，從而實現ARMA(p，q)模型的參數估計。得到

最大似然法頻率估計是通過求解似然函數的最大值來進行頻率估計，此法對信噪比門限要求較低，不需要事先對噪聲進行學習，應用簡便，是最準確的頻率估計方法；但在求解最大似然函數最大值時要求解一個高度非線性化的方程，計算量非常大，有時甚至無法求解，不適用于實時計算。

設信號表示為，其中，a(t)已知；相位是在上均勻分布的隨機變量；頻率w是待估計的信號參量。接收信號表示為，其中，n(t)是均值為零的高斯白噪聲。當頻率w為待估計量時，有

其中，

因為，所以

，

式中。令，則有，這樣，似然函數

將對在上求統計平均，得

由p[x(t)|w]對w求極大值就能得到頻率w的最大似然估計量。

6、多信號分類法（MUSIC算法）

MUSIC算法利用信號子空間和噪聲子空間的正交性，構造空間譜函數，通過譜峰搜索，估計信號頻率。

根據觀測樣本值x(0)，x(1)，…，x(N-1)，估計自相關矩陣；對進行特征分解，得到(M-K)個最小特征值對應的特征向量，構造矩陣G；在

[-π，π]內改變w，計算SMUSIC(w)，峰值位置就是信號頻率的估計值。

MUSIC算法是空間譜估計方法中極為重要的一種，分辨率高，對信號個數、噪聲干擾強度、相干關系等可以進行漸近無偏估計，在噪聲子空間大于信號子空間時，MUSIC算法有非常好的性能。但其需要在整個頻域內進行譜峰搜索，實時性較差。

7、旋轉不變子空間算法（ESPRIT算法）

ESPRIT算法是基于旋轉不變技術的信號參數估計方法。首先，根據觀測樣本值x(0)，x(1)，…，x(N-1)，估計相關矩陣；其次，對進行特征分解，計算得到最小特征值；之后，構造矩陣對，其中；然后對進行廣義特征分解，最接近單位圓的K個廣義特征值的相位給出了信號頻率的估

ESPRIT算法具有較高的估計精度，無需像MUSIC算法一樣進行譜峰搜索，而是直接解出估計的信號頻率。但是ESPRIT算法需進行兩次特征值分解，計算量較大。

8、非平穩信號頻率估計方法

對于非平穩信號，不能簡單的使用平穩信號的估計方法，必須考慮時變因素。人們希望找到一個二維函數，既能反映信號的頻率內容，也能反映出該頻率內容隨時間變化的規律。其中最典型的是以Cohen類為代表的雙線性時頻分布，此分布可表示為

式中,是一個二維窗函數，給定不同的窗函數可以得到不同的時頻分布。

若，式中w是一個一維的窗函數，上式可以簡化為如下的譜圖

式中，稱為信號x(t)的短時傅里葉變換，它

短時傅里葉變換，它將分段加窗后的信號視為平穩信號，然后利用傅里葉變換進行分析，屬于線性變換，對地信噪比下的多分量信號有良好的分析能力，但是其時頻分辨率較低，存在窗口效應。

下面對MUSIC算法進行仿真說明，設被測量頻率為0.4Hz。

Snr=-20時,解出f=0.315Hz，實際f=0.400Hz，相對誤差15.25%

Snr=-15時，解出f=0.412Hz，相對誤差7.5%

Snr=-10時，解出f=0.379Hz，相對誤差5.25%

Snr=-5時，解出f=0.3920Hz，相對誤差2%

Snr=0時，解出f=0.3990Hz，相對誤差0.5%

Snr=5時，解出f=0.400Hz，相對誤差0%

Snr=10時，解出f=0.400Hz，相對誤差0%。

在不同信噪比的情況下，計算1000組數據的相對誤差。

信噪比與相對誤差的關系，橫軸為信噪比，豎軸為相對誤差。

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