有趣的雪花曲線

ID:127437 · 發(fā)表于 2016-6-20 22:27

雪花曲線，也叫科赫雪花（Koch Curve），科赫在1906年提出。或許是因?yàn)殚L(zhǎng)得像雪花而得名的。

這個(gè)美麗復(fù)雜的曲線卻是用極為簡(jiǎn)單的畫法畫成的：

先作出一個(gè)等邊三角形，然后把三角形的每一邊都分成三等分，然后再在每一邊上的三等分點(diǎn)上作出新的等邊三角形，不斷重復(fù)這個(gè)過(guò)程，所得的圖形就會(huì)越來(lái)越像雪花，就像這樣：

雪花曲線不僅美麗，也有許多神奇的性質(zhì)，比如，它的周長(zhǎng)會(huì)是多少呢？
我們看到，每次作圖，周長(zhǎng)都增加了1/3，也就是每次作圖，周長(zhǎng)都變成了上一次的4/3，那么，第n次的情況就是(4/3)^n，我們讓n趨向于無(wú)窮，那么周長(zhǎng)也就會(huì)變成無(wú)窮大：

也就是說(shuō)，雪花曲線的周長(zhǎng)是無(wú)限長(zhǎng)的。。

那么，面積呢？面積每一次都增加了，如果增加無(wú)窮次，面積是否也會(huì)變成無(wú)窮大？
對(duì)于正三角形，如果邊長(zhǎng)為a，面積就是
___
√3 2

----- a
4

我們看到，每一次作圖（第n次），都增加了3^n個(gè)三角形，而每個(gè)三角形的邊長(zhǎng)都是上一次的1/3，那么邊長(zhǎng)就是(1/3)^n ，那么每個(gè)新三角形的面積就是：
　 ___
　√3
---------
　　　2n
　4×3

那么可得，第n次作圖面積就增加了：
　 ___　　n
　√3　×3
------------
　　　　2n
　　4×3

化簡(jiǎn)可得：
　 ___
　√3
------------
　　　n
　4×3

那么到第n次，總面積就是：

（Σ是求和的意思）
我們可以作出面積關(guān)于n的折線圖：

我們發(fā)現(xiàn)，隨著n的增加，面積S增加的愈來(lái)愈慢，這說(shuō)明隨著n的增加，面積S很可能收斂于一個(gè)定值，而不是發(fā)散到無(wú)窮去。

我們用與之前相同的辦法求，現(xiàn)在如果讓n趨向于無(wú)窮，上式就會(huì)變成一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)：

如果我們把√(3)/4提出來(lái)，就會(huì)變成√(3)/4 Σ1/3^k ，
而Σ1/3^k 我們很熟悉，這是一個(gè)幾何級(jí)數(shù)，它收斂到1/(1-1/3)=3/2
因此這個(gè)級(jí)數(shù)就會(huì)收斂到：
   __    __
3 √3    3√3
---×---- = ------
2    4    8

(3√3)/8
即：

那么，我們推出了，雪花曲線的面積就是(3√3)/8 ，這個(gè)數(shù)字大約等于 0.64951905283832898507279237806470213760355197017889273552092761729447

你可能會(huì)很驚奇，因?yàn)橹荛L(zhǎng)每一次都在增加，最后變成無(wú)窮長(zhǎng)；每一次作圖面積也在增加，但卻收斂于一個(gè)定值，而不是無(wú)窮大。這意味著神奇的雪花曲線是用著一段無(wú)限長(zhǎng)的周長(zhǎng)圍出了一片有限多的面積，是不是很有趣？

更有趣的是，雪花曲線還有許多其他神奇的性質(zhì)，比如說(shuō)，它是一個(gè)分型圖形，它本身也具有遞歸的特性，而且在這條曲線上的任何一點(diǎn)都無(wú)法做出切線，（即處處不可導(dǎo)）這會(huì)導(dǎo)致你無(wú)法確定這個(gè)圖形接下來(lái)往哪畫。還有比這更奇怪的，這條“曲線”事實(shí)上不由任何一些“直線”或是“曲線”構(gòu)成，因?yàn)槊恳粭l直線又都由一堆的“三角形”構(gòu)成，但這些三角形的邊卻又由三角形構(gòu)成。無(wú)論你怎么放大，你也無(wú)法看見任何一段直線，或是曲線……這一點(diǎn)跟魏爾斯特拉斯函數(shù)有異曲同工之妙。。（這是一個(gè)處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)的函數(shù)，即任何一點(diǎn)無(wú)法做出切線）

附：魏爾斯特拉斯函數(shù)圖像：

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