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方差分析是試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)重要思想。其基本思想是通過考察均值的變異來分析變量間的依賴程度。需要說明的是，方差分析關(guān)注的是均值的變異，而非方差的變異情況。
回歸分析方法，特別是線性回歸分析方法可能是最受歡迎的統(tǒng)計(jì)工具之一。在研究中有多種回歸形式，如線性、非線性、單變量、多變量、參數(shù)或是非參數(shù)回歸等等。
方差分析與回歸分析的相似之處就是，這兩種分析方法都可被用于分析變量對(duì)其他變量的依賴性。二者的區(qū)別就在于，分析的角度是不同的。
9.1方差分析
方差分析是20世紀(jì)20年代發(fā)展起來的一種統(tǒng)計(jì)方法，目前已被廣泛應(yīng)用于心理學(xué)、醫(yī)學(xué)以及人文科學(xué)等學(xué)科研究中。本節(jié)將介紹單因素方差分析與雙因素方差分析的基本原理及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用。
9.1.1基本概念及相關(guān)假設(shè)
（一）基本概念
定義1 檢驗(yàn)多個(gè)總體均值是否有顯著差異的統(tǒng)計(jì)方法，稱為方差分析（Analysis of variance，常被簡(jiǎn)記為ANOVA）。
從形式上，方差分析是通過比較多個(gè)總體的均值是否有顯著差異，來說明某分類變量對(duì)因變量的影響情況，例如，是否產(chǎn)生了影響，影響強(qiáng)度如何等等。為了更好地說明問題，這里以一個(gè)實(shí)際問題來進(jìn)行說明。
例1 為提高大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)效果，研究人員提出了三種不同的教學(xué)方案，現(xiàn)欲證明這三種不同的教學(xué)方案對(duì)教學(xué)效果的改進(jìn)是否有顯著差異。這里使用的方法是，從同一年級(jí)的學(xué)生中，隨機(jī)抽取接受不同教學(xué)方法的學(xué)生若干名，通過比較學(xué)期期末考試成績(jī)，來考察三種教學(xué)方法效果的差異。具體的成績(jī)數(shù)據(jù)如表9-1：
（詳見附件）
一般而言，學(xué)生的成績(jī)?cè)礁撸f明相應(yīng)的教學(xué)方法的效果越好。我們希望了解這三種教學(xué)方法的效果是否有顯著差異？
要分析這三種教學(xué)方法的效果是否有顯著差異，實(shí)際上也就是要判斷“教學(xué)方法”對(duì)“學(xué)生成績(jī)”是否有顯著影響，做出這種判斷最終被歸結(jié)為檢驗(yàn)接受這三種教學(xué)方法的學(xué)生的平均成績(jī)是否有較大差異。如果他們的平均成績(jī)沒有較大差異，就意味著“教學(xué)方法”對(duì)學(xué)生成績(jī)是沒有影響的，也就是這三種教學(xué)方法的效果沒有顯著差異；如果平均成績(jī)有較大差異，則意味著“教學(xué)方法”對(duì)學(xué)生成績(jī)是有影響的，這三種教學(xué)方法的效果應(yīng)該有顯著差異。
為了便于表述，可以引入以下定義：
定義2 在方差分析中，被檢驗(yàn)的對(duì)象稱為因素或是因子（Factor）。
定義3 因素所處的不同狀態(tài)稱為水平(Level)。
定義4 因素在每個(gè)水平下對(duì)應(yīng)的調(diào)查結(jié)果可以稱為一個(gè)“組”（Group）。
在例1中，“教學(xué)方法”是被檢驗(yàn)的對(duì)象，我們把它稱為“因素”或是“因子”；方法1、方法2與方法3是“教學(xué)方法”這一因素的具體表現(xiàn)，可以稱之為“水平”；每一種教學(xué)方法對(duì)應(yīng)的學(xué)生成績(jī)是一組觀測(cè)值。由于這里只涉及“教學(xué)方法”這一個(gè)因素，因此對(duì)此問題的分析也可以稱為單因素3水平的分析。因素的每一個(gè)水平可以看作為一個(gè)總體，例如方法1、方法2、方法3可以對(duì)應(yīng)三個(gè)總體，相應(yīng)的觀測(cè)值可以看作是從這三個(gè)總體中抽取的樣本數(shù)據(jù)。
（二）基本假設(shè)
方差分析中有三個(gè)基本假設(shè)：
（1）每個(gè)總體均服從正態(tài)分布；
（2）各總體的方差均相同；
（3）所有的觀測(cè)值是獨(dú)立的。
在上述假設(shè)成立的前提下，要分析自變量對(duì)因變量是否有影響，實(shí)際上也就是要檢驗(yàn)自變量的各個(gè)水平（總體）的均值是否相等。例如，在例1中，判斷教學(xué)方法對(duì)學(xué)生成績(jī)是否有顯著影響，實(shí)際上就是檢驗(yàn)具有相等方差的三個(gè)正態(tài)總體的均值（平均成績(jī)）是否相等。
盡管總體的均值是未知的，但是，正如前面所學(xué)習(xí)到的，我們可以用樣本均值代替總體均值進(jìn)行檢驗(yàn)分析。如果這三個(gè)總體的均值是相等的，那么可以預(yù)期對(duì)應(yīng)的三個(gè)樣本均值也會(huì)很接近。事實(shí)上，三個(gè)樣本均值越接近，推斷這三個(gè)總體均值相等的證據(jù)也就越充分；反之，推斷總體均值不相等的證據(jù)越充分。換句話說，這是一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)過程。
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