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多階常微分方程中的求解積分技巧一例

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ID:104126 發表于 2016-1-24 02:25 | 顯示全部樓層 |閱讀模式
題目如下：d2y/dx^2=1/(1+x^2)
本題常微分方程為二階，用導數表示法表示：d2y/dx^2=y''
1.首先求解1階的解：
    y'=1/(1+x^2)
    換算成微分形式后：dy/dx=1/(1+2^x)
    dy=1/(1+2^x)
    兩邊積分后：∫dy=∫1/(1+x^2)dx，根據積分公式可得：
    y=arctanx+K1
2.求解2階的解：
    y'=arctanx+K1
   換算成微分形式后：dy/dx=arctanx+K1
   dy=arctanxdx+K1dx
   兩邊積分后：∫dy=∫arctanxdx+∫K1dx（注意！因arctanx在積分公式中已求解到最后一步，所以此處不存在對arctanx的積分公式，需要利用分部積分法求解！）
   ∫arctanx dx可看成∫1*arctanxdx
   設：g(x)=1，則G(x)=x
   x*arctanx-∫x darctanx，（此處存在arctanx的導數）
   x*arctanx-∫x*1/(1+x^2)dx
   利用換元法設1+x^2=t，則xdx=1/2dt，帶入上述過程中：
   x*arctanx-∫1/t*1/2dt
   x*arctanx-1/2lnt，將t=1+x^2帶回原方程：
   ∴y=x*arctanx-1/2ln(1+x^2)+K1x+K2     □


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